Teoría de Telecomunicaciones I

Evan Moulin | Download | HTML Embed
  • Apr 29, 2008
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1 Teora de Telecomunicaciones I I.E. Evelio Astaiza Hoyos

2 Objetivo El estudiante, al finalizar el curso estar en capacidad de describir los efectos de la contaminacin de una seal transmitida, las limitaciones fsicas y tecnolgicas de los sistemas de Telecomunicaciones, identificar las distintas formas existentes de procesamiento de seales de naturaleza analgica y los criterios de seleccin de los mismos. Teora de Telecomunicaciones I 2

3 Contenido del curso (1) GENERALIDADES Comunicacin, mensajes y seales. El sistemas de comunicaciones. Limitaciones en la comunicacin elctrica. La modulacin y la codificacin. Cronologa de la comunicacin elctrica . SEALES, ESPECTROS Y FILTROS (SISTEMAS LTI) Seales AC. Seales peridicas y series de Fourier Seales aperidicas y Transformada de Fourier Relacin entre el dominio del tiempo y la frecuencia. Respuesta de un sistema y filtros. Correlacin y densidad espectral. Teora de Telecomunicaciones I 3

4 Contenido del curso (2) SEALES ALEATORIAS Y RUIDO Introduccin a la probabilidad (repaso) Variables aleatorias y funciones de probabilidad Promedios estadsticos Modelos tiles de probabilidad Seales aleatorias. El ruido y su filtracin. COMUNICACIN DE BANDA BASE Seales y ruido. Distorsin de la seal transmitida. Prdida de transmisin y decibeles en el sistema. Teora de Telecomunicaciones I 4

5 Contenido del curso (3) MODULACIN LINEAL Seales y sistemas pasabanda Modulacin de doble banda: AM y DSB Moduladores y transmisores. Moduladores de banda lateral suprimida: SSB y VSB. Conversin de frecuencia, deteccin y receptores. Mltiplex por divisin de frecuencia (FDM) Sistemas de televisin y facsmile. MODULACIN EXPONENCIAL Conceptos fundamentales: FM y PM. Anlisis espectral de FM Anchos de banda de FM Modulacin de fase (PM) Transmisores y receptores. Teora de Telecomunicaciones I 5

6 Contenido del curso (4) RUIDO DE MODULACION DE ONDA CONTINUA Modelos y Parmetros del sistema. Interferencia. Ruido pasabanda Ruido en modulacin lineal Ruido en modulacin exponencial Comparacin de los sistemas de modulacin de onda continua. Teora de Telecomunicaciones I 6

7 Metodologa CLASES Clases magistrales y practicas basadas en simulacin utilizando la herramienta MATLAB. EVALUACIN Parcial I: Evaluacin escrita (25%) Prcticas (10%) Parcial II: Evaluacin escrita (25%) Prcticas (10%) Final: Evaluacin escrita (20%) Prcticas (10%) Teora de Telecomunicaciones I 7

8 Bibliografa Communication Systems Bruce Carlson Transmisin De Informacin. Modulacin Y Ruido, Misha Schawartz Sistemas De Comunicacin Digitales Y Analgicos. Len W. Couch Ii Sistemas De Comunicacin Electrnicas. Wayne Tomasi Fundamentals Of Signals And System Using Matlab Edward W. Kamen Bonnie S. Heck Teora de Telecomunicaciones I 8

9 CAPITULO I Generalidades

10 Informacin, Mensajes y Seales Mensaje: Representacin fsica de la informacin producida por una fuente. Tipos de Mensaje: Analgico y digital. Un mensaje analgico puede ser entregado a un destino con cierto grado de confiabilidad siempre y cuando este resida en una forma de onda variante con el tiempo. Un mensaje digital puede ser entregado a un destino con cierto nivel de precisin en una cantidad de tiempo especfica siempre y cuando la informacin resida en un conjunto de smbolos. Teora de Telecomunicaciones I 10

11 Elementos de un Sistema de Comunicacin Teora de Telecomunicaciones I 11

12 Efectos Sobre la Seal Producidos en el Canal Atenuacin Distorsin Interferencia Ruido Teora de Telecomunicaciones I 12

13 Limitaciones de Diseo (1) Ancho de banda: (Aplica como una medida de la velocidad tanto para seales como para sistemas) Cuando una seal vara rpidamente con el tiempo, su espectro se extiende sobre un amplio rango, igualmente, la habilidad de un sistema para seguir las variaciones de una seal se refleja en su respuesta en frecuencia o en su denominado ancho de banda de transmisin. Teora de Telecomunicaciones I 13

14 Limitaciones de Diseo (2) Ruido: Trmico Interferencia nter modulacin La medida relativa de la cantidad de potencia de ruido en una seal de informacin se expresa mediante la relacin de potencia de seal a ruido S/N El ruido degrada la fidelidad de la seal en comunicaciones analgicas e introduce errores en comunicaciones digitales. Teora de Telecomunicaciones I 14

15 Limitaciones de Diseo (3) Considerando las limitaciones de ancho de banda y ruido, Hartley y Shannon establecen que la tasa de transferencia de informacin no puede superar la capacidad del canal, la cual establece el lmite superior en el desempeo de un sistema de comunicaciones con una relacin seal a ruido y un ancho de banda dados. Teora de Telecomunicaciones I 15

16 Modulacin y Codificacin (1) Modulacin: Alteracin sistemtica de una seal portadora en correspondencia con las variaciones de una seal moduladora. Mtodos de Modulacin. Modulacin de Onda Continua Modulacin de pulsos Teora de Telecomunicaciones I 16

17 Modulacin y Codificacin (2) Teora de Telecomunicaciones I 17

18 Modulacin y Codificacin (3) Beneficios de la Modulacin El propsito primario de la modulacin en un sistema de comunicaciones es adaptar a la seal a las caractersticas del canal de transmisin. Eficiencia en la transmisin (Tamao antenas) Superar limitaciones de hardware Reduccin de ruido e interferencia Asignacin de frecuencia Multiplexacin Teora de Telecomunicaciones I 18

19 Modulacin y Codificacin (3) CODIFICACIN Es una operacin de procesamiento de smbolos para mejorar la comunicacin cuando la informacin es digital o puede ser llevada a la forma de smbolos discretos. CODIFICACIN DE CANAL Es una tcnica utilizada para introducir redundancia controlada para el mejoramiento del desempeo y fiabilidad en un canal ruidoso. CODIFICACION PARA CONTROL DE ERRORES Permite la reduccin del ancho de banda de ruido mediante la adicin de dgitos de verificacin a cada palabra codificada. Teora de Telecomunicaciones I 19

20 Cronologa en comunicaciones (1) 1800 1837 Desarrollos preliminares en electricidad, magnetismo y matemticas 1838 1866 Telegrafa 1876 1879 Telefona 1887 1907 Telegrafa inalmbrica 1904 1920 Comunicacin electrnica 1920 1928 Teora de transmisin 1923 1938 Televisin 1944 1947 Teora de la comunicacin estadstica 1953 Televisin a color Teora de Telecomunicaciones I 20

21 Cronologa en comunicaciones (2) 1948 1950 Teora de la informacin 1962 Comunicaciones satelitales 1962 1966 Comunicaciones digitales 1966 1975 Comunicaciones de banda ancha 1969 Arpanet 1972 Telfono celular 1990 2000 Sistemas de comunicacin digital Teora de Telecomunicaciones I 21

22 CAPITULO II Seales, Espectros y Filtros

23 Seales A.C. (1) Considere la familia de seales sinusoidales descritas de la forma Donde A es el valor pico o amplitud, o es la frecuencia en radianes y el ngulo de fase. La ecuacin [1] implica que la seal tiene un periodo de repeticin Teora de Telecomunicaciones I 23

24 Seales A.C. (2) El reciproco del periodo es igual a la frecuencia en ciclos. Teora de Telecomunicaciones I 24

25 Seales A.C. (3) La representacin fasorial de la seal proviene del teorema de Euler. Luego, se puede representar cualquier seal sinusoidal como la parte real de una funcin exponencial compleja Teora de Telecomunicaciones I 25

26 Seales A.C. (4) Para describir el mismo fasor en el dominio de la frecuencia, se deben asociar la correspondiente amplitud y fase con la frecuencia de rotacin del fasor fo. Teora de Telecomunicaciones I 26

27 Convenciones utilizadas en anlisis espectral En todos los diagramas la variable independiente es frecuencia (f). Los ngulos de fase son medidos referenciados a seales coseno, o equivalentemente con respecto al semieje real positivo del diagrama fasorial. Se debe considerar siempre a la amplitud de la seal como una cantidad positiva, en caso de ser negativa debe ser representada en la fase. Los ngulos de fase son expresados en grados incluso cuando otros ngulos se encuentren expresados en radianes. Teora de Telecomunicaciones I 27

28 Ejemplo (1) Considere la seal Utilizando las convenciones y expresndola en trminos de funciones coseno tenemos Teora de Telecomunicaciones I 28

29 Ejemplo (2) Obteniendo el diagrama de espectro un lado de la seal Teora de Telecomunicaciones I 29

30 Ejemplo (3) Sin embargo, otra representacin de mayor valor denominada diagrama de espectro de doble lado, involucra valores negativos de frecuencia, representacin que puede obtenerse conociendo que Luego se puede obtener aplicando [4] Teora de Telecomunicaciones I 30

31 Ejemplo (4) Por consiguiente aplicando [7] a la expresin de tenemos los diagramas Teora de Telecomunicaciones I 31

32 Seales peridicas y potencia promedio (1) Sinusoides y fasores son miembros de una clase general de funciones peridicas, las cuales obedecen a la relacin Por consiguiente una seal peridica se describe completamente especificando su comportamiento en uno de sus periodos. La representacin de una seal peridica en el dominio de la frecuencia es el espectro obtenido por su expansin en series de fourier, y se requiere que la seal posea una potencia promedio finita. Teora de Telecomunicaciones I 32

33 Seales peridicas y potencia promedio (2) Dada una funcin v(t) su valor promedio para todo el tiempo se define como En el caso de una seal peridica con periodo To el promedio se redefine como Teora de Telecomunicaciones I 33

34 Seales peridicas y potencia promedio (3) La definicin de potencia promedio asociada a cualquier seal peridica es Digamos que v(t) es una seal peridica de potencia con periodo To, su expansin en series complejas de fourier es Teora de Telecomunicaciones I 34

35 Seales peridicas y potencia promedio (4) Los coeficientes de la serie se relacionan con v(t) a travs de Estos coeficientes pueden ser expresados de forma polar como Teora de Telecomunicaciones I 35

36 Seales peridicas y potencia promedio (5) Luego la expansin en series complejas de fourier [13] expande una seal de potencia peridica como una suma infinita de fasores de la forma Se hace nfasis en la interpretacin espectral escribiendo Teora de Telecomunicaciones I 36

37 Seales peridicas y potencia promedio (5) Donde representa la amplitud del espectro como una funcin de la frecuencia y arg representa la fase del espectro como una funcin de la frecuencia. Existen 3 propiedades importantes del espectro de seales de potencia peridicas Todas las frecuencias son mltiplos enteros o armnicos de la frecuencia fundamental fo. La componente d.c. es el valor promedio de la seal cuando n=0. Teora de Telecomunicaciones I 37

38 Seales peridicas y potencia promedio (6) Si v(t) es una funcin real en el dominio del tiempo Lo cual indica que el espectro de amplitud presenta simetra par y el espectro de fase simetra impar Teora de Telecomunicaciones I 38

39 Seales peridicas y potencia promedio (7) Dado lo anterior, la expansin en series complejas de fourier de seales reales, permite el reagrupamiento en pares complejos conjugados, excepto por C0, luego la seal v(t) puede ser expresada como La cual es denominada serie trigonomtrica de fourier y sugiere un espectro de un solo lado. Sin embargo la mayoria de las veces se utilizan series exponenciales y espectros de dos lados. Teora de Telecomunicaciones I 39

40 Seales peridicas y potencia promedio (8) La integracin para Cn generalmente involucra un promedio fasorial de la forma Teora de Telecomunicaciones I 40

41 Seales peridicas y potencia promedio (9) Dado que esta expresin aparece una y otra vez cuando se realiza el anlisis espectral de una seal, se introduce la funcin Sinc, la cual se define como Donde representa la variable independiente Teora de Telecomunicaciones I 41

42 Ejemplo: Descomposicin en series de Fourier de un tren de pulsos rectangulares (1) Para calcular los coeficientes de fourier, el rango de integracin se toma sobre el periodo central As mismo, sabiendo que la funcin v(t) se define como Teora de Telecomunicaciones I 42

43 Ejemplo: Descomposicin en series de Fourier de un tren de pulsos rectangulares (2) Los coeficientes de fourier estn dados por Teora de Telecomunicaciones I 43

44 Ejemplo: Descomposicin en series de Fourier de un tren de pulsos rectangulares (3) Luego el espectro de magnitud est dado por Si Teora de Telecomunicaciones I 44

45 Ejemplo: Descomposicin en series de Fourier de un tren de pulsos rectangulares (4) Y el espectro de fase se obtiene por la observacin de Cn, el cual siempre es real, pero en algunas ocasiones es negativo, lo cual indica que arg toma valores de 0, +180 y -180 dependiendo del signo de la funcin Sinc. Teora de Telecomunicaciones I 45

46 Condiciones de convergencia y fenmeno de Gibbs (1) Condiciones de Dirichlet Si una funcin peridica v(t) posee un nmero finito de mximos, mnimos y discontinuidades por periodo, y v(t) es absolutamente integrable, luego la serie de fourier existe y converge uniformemente donde quiera que v(t) sea continua. Si v(t) es cuadrado integrable, luego tiene un rea finita por periodo (equivalente a la potencia de la seal) Teora de Telecomunicaciones I 46

47 Condiciones de convergencia y fenmeno de Gibbs (2) De acuerdo a las anteriores condiciones la serie converge en la media si Teora de Telecomunicaciones I 47

48 Condiciones de convergencia y fenmeno de Gibbs (3) xx Teora de Telecomunicaciones I 48

49 Teorema de Parseval (1) El teorema de Parseval relaciona la potencia promedio de una seal peridica con sus coeficientes de fourier. Teora de Telecomunicaciones I 49

50 Teorema de Parseval (2) De la expresin anterior tenemos que la integral dentro de la sumatoria es Cn la expresin anterior indica que la potencia promedio de una seal peridica puede ser encontrada por la suma del cuadrado de las magnitudes de las lneas del espectro de la seal. Teora de Telecomunicaciones I 50

51 Transformacin de Fourier (1) Si una seal no peridica tiene una energa total finita, su representacin en el dominio de la frecuencia, ser un espectro continuo obtenido a partir de la transformada de fourier. As mismo, es mas apropiado hablar de la energa de una seal no peridica que hablar de la potencia promedio de la seal, puesto que en este tipo de seales, su magnitud tiende a cero cuando el tiempo tiende a infinito, igual sucede con el cuadrado de la magnitud y por consiguiente con su promedio de potencia. Teora de Telecomunicaciones I 51

52 Transformacin de Fourier (2) La energa de una seal se obtiene de acuerdo a Si la integral existe y converge a un valor mayor que cero y menor que infinito, se dice que la seal tiene una energa bien definida y se la denomina seal no peridica de energa. Es una condicin esencial que una seal sea no peridica de energa para realizar su anlisis espectral utilizando la transformacin de fourier. Teora de Telecomunicaciones I 52

53 Transformacin de Fourier (3) Para introducir la transformada de fourier se parte de la representacin en series de fourier de una seal peridica de potencia. Considerando el ejemplo de la descomposicin en series de fourier del tren de pulsos, se puede observar que las componentes de frecuencia se encuentran espaciadas en intervalos Teora de Telecomunicaciones I 53

54 Transformacin de Fourier (4) Luego se puede observar que las componentes de espectro se acercan conforme el periodo se hace mayor, en el caso de el pulso rectangular, puede considerarse posee periodo infinito, por lo tanto, el espaciamiento entre las componentes del espectro tiende a cero, aproximndose a una variable continua de frecuencia f. Teora de Telecomunicaciones I 54

55 Transformacin de Fourier (5) En la expresin anterior de v(t) el trmino entre corchetes simboliza la transformada de fourier de la seal v(t), y se define como una integracin sobre todo el tiempo que se encuentra definida la funcin de la variable f La funcin en el dominio del tiempo puede ser recuperada a partir de la transformada inversa de fourier. Teora de Telecomunicaciones I 55

56 Transformacin de Fourier (6) Propiedades de la transformacin de Fourier. La transformada de Fourier es una funcin compleja, donde es la amplitud del espectro de v(t), y argV(f) es el espectro de fase. El valor de V(f) en f=0 es igual al rea neta de v(t). Teora de Telecomunicaciones I 56

57 Transformacin de Fourier (7) Si v(t) es real Luego, se presenta simetra par en el espectro de magnitud e impar en el espectro de fase; las funciones complejas que obedecen a esta propiedad se las denomina poseen simetra hermitiana. Teora de Telecomunicaciones I 57

58 Ejemplo: Espectro de un pulso rectangular (1) Sea un pulso rectangular estndar centrado en t=0 y de duracin , luego v(t) se expresa de la forma Teora de Telecomunicaciones I 58

59 Ejemplo: Espectro de un pulso rectangular (2) Luego Teora de Telecomunicaciones I 59

60 Seales simtricas y causales (1) En general una seal puede ser expresada de la forma Donde Dado que Y representan las componentes par e impar de la seal V(f). Teora de Telecomunicaciones I 60

61 Seales simtricas y causales (2) Si v(t) es real se cumple que Y por consiguiente Ahora, si v(t) es simtrica en el dominio del tiempo Teora de Telecomunicaciones I 61

62 Seales simtricas y causales (3) Donde w(t) es vlida para ambas v(t)coswt y v(t)sinwt. Si v(t) presenta simetra par v(-t)=v(t) Si v(t) presenta simetra impar v(-t)=-v(t) Ahora considrese el caso de una seal causal Con lo cual preclude cualquier tipo de simetra Teora de Telecomunicaciones I 62

63 Seales simtricas y causales (3) Por lo tanto el espectro est formado por una parte real y una imaginaria, luego Integral que se asemeja a la transformada unilateral de Laplace La cual implica que v(t)=0 para t

64 Ejemplo: Pulso causal exponencial (1) Sea la seal causal Para la cual es espectro esta dado por racionalizando Luego Teora de Telecomunicaciones I 64

65 Ejemplo: Pulso causal exponencial (2) Convirtiendo a coordenadas polares para obtener los espectros de magnitud y fase Teora de Telecomunicaciones I 65

66 Teorema de energa de Rayleigh Establece que la energa E de una seal v(t) est relacionada con su espectro V(f) por Dado lo anterior se puede establecer que para un pulso rectangular la densidad espectral de energa para Donde la energa total del pulso es Teora de Telecomunicaciones I 66

67 Relaciones tiempo frecuencia (Superposicin) Si a1 y a2 son constantes y Luego Generalizando El teorema establece que combinaciones lineales en el dominio del tiempo son expresadas igualmente como combinaciones lineales en el dominio de la frecuencia Teora de Telecomunicaciones I 67

68 Relaciones tiempo frecuencia (Desplazamiento en el tiempo y cambio de escala) (1) Desplazamiento en el dominio del tiempo causa adiciones lineales de fase Teora de Telecomunicaciones I 68

69 Relaciones tiempo frecuencia (Desplazamiento en el tiempo y cambio de escala) (2) Cambios de escala en el dominio del tiempo producen cambios de escala recprocos en el dominio de la frecuencia Teora de Telecomunicaciones I 69

70 Ejemplo (1) Sea la seal donde Aplicando el teorema de superposicin y desplazamiento en el tiempo tenemos Con Teora de Telecomunicaciones I 70

71 Ejemplo (2) Tenemos que Luego si y entonces y donde entonces Teora de Telecomunicaciones I 71

72 Ejemplo (3) Donde Si y se convierte en Teora de Telecomunicaciones I 72

73 Ejemplo (4) Y el espectro es Donde se puede apreciar que es puramente imaginario dada la simetra impar de la seal en el domino del tiempo Teora de Telecomunicaciones I 73

74 Relaciones tiempo frecuencia (Traslacin de frecuencia y modulacin)(1) Multiplicar un funcin en el dominio del tiempo por causa que su espectro sea trasladado en frecuencia por +fc Teora de Telecomunicaciones I 74

75 Relaciones tiempo frecuencia (Traslacin de frecuencia y modulacin)(2) De acuerdo a la grfica anterior tenemos: Las componentes significativas de frecuencia se encuentran alrededor de fc. A pesar que V(f) tiene una banda limitada de W, V(f - fc) tiene un espectro amplio de 2W. V(f - fc) es no hermitiana pero posee simetra con respecto al origen trasladado f fc. Teorema de la modulacin Teora de Telecomunicaciones I 75

76 Ejemplo: Pulso de RF Sea la seal Aplicando la propiedad de modulacin tenemos Teora de Telecomunicaciones I 76

77 Relaciones tiempo frecuencia (Diferenciacin e integracin)(1) Derivar una funcin en el dominio del tiempo, implica la multiplicacin por un factor complejo en el dominio de la frecuencia Para comprobarlo tenemos Teora de Telecomunicaciones I 77

78 Relaciones tiempo frecuencia (Diferenciacin e integracin)(2) Generalizando Integrar una funcin en el dominio del tiempo, implica la divisin por un factor complejo en el dominio de la frecuencia si Teora de Telecomunicaciones I 78

79 Ejemplo: Pulso Triangular La forma de onda zb(t) posee rea neta cero, y su integracin produce un pulso triangular. Aplicando el teorema de integracin Teora de Telecomunicaciones I 79

80 Convolucin (1) La convolucin de dos funciones de la misma variable v(t) y w(t) se define como La integral de convolucin no es difcil de calcular si las dos funciones son continuas en el tiempo, pero si una o ambas presentan discontinuidades, la interpretacin grfica de la convolucin es de gran ayuda, por ejemplo sean las seales Teora de Telecomunicaciones I 80

81 Convolucin (2) Luego Teora de Telecomunicaciones I 81

82 Convolucin (3) En la figura anterior se puede apreciar que cuando t

83 Convolucin (4) Finalmente cuando t > T las funciones se traslapan para t-T< < t Luego la grfica de la funcin resultante es Teora de Telecomunicaciones I 83

84 Teoremas de la convolucin La convolucin satisface mltiples propiedades derivadas de su definicin o de su interpretacin grfica, tales como Teniendo presentes las anteriores propiedades se listan los teoremas de convolucin Teora de Telecomunicaciones I 84

85 Ejemplo: Pulso Trapezoidal (1) El pulso rectangular puede ser expresado como la convolucin de los pulsos rectangulares Si el problema se puede estudiar en tres partes No hay traslape Hay traslape parcial Hay traslape total Teora de Telecomunicaciones I 85

86 Ejemplo: Pulso Trapezoidal (2) En el caso de no traslape tenemos En la regin de traslape parcial Teora de Telecomunicaciones I 86

87 Ejemplo: Pulso Trapezoidal (3) En la regin de traslape total Luego, el resultado es el pulso trapezoidal, del cual su transformada puede expresarse como Teora de Telecomunicaciones I 87

88 Impulsos y transformada en el lmite (Propiedades del impulso unitario) Considerando Donde v(t) es continua en t=0, y si v(t)=1, tenemos Las propiedades integrales mas significativas del impulso son Teora de Telecomunicaciones I 88

89 Impulsos y transformada en el lmite (Impulsos en frecuencia)(1) Una seal constante en el dominio del tiempo posee un espectro definido por un impulso, luego Generalizando Teora de Telecomunicaciones I 89

90 Impulsos y transformada en el lmite (Impulsos en frecuencia)(2) Si v(t) es una seal peridica arbitraria Luego su transformada de fourier es Lo anterior indica que cualquier conjunto de espectro de dos lados puede ser convertido a un espectro continuo, permitiendo la representacin de seales peridicas y no peridicas por espectros continuos. Teora de Telecomunicaciones I 90

91 Ejemplo: Seal modulada en frecuencia Sea la seal Con Teora de Telecomunicaciones I 91

92 Funciones escaln y signo (1) La funcin signo se define como Esta funcin es un caso particular de la funcin Donde Teora de Telecomunicaciones I 92

93 Funciones escaln y signo (2) Luego Ahora, la funcin signo y la funcin escaln se relacionan Teora de Telecomunicaciones I 93

94 Funciones escaln y signo (3) Convolucionando una funcin v(t) cualquiera con el escaln tenemos Luego Lo anterior indica que el teorema de integracin es vlido cuando V(0)=0 Teora de Telecomunicaciones I 94

95 Impulso en el tiempo (1) La transformada de un impulso en el dominio del tiempo es una funcin constante en el dominio de frecuencia De manera general aplicando la propiedad de desplazamiento en el tiempo tenemos Sea v(t) una funcin continua en el tiempo con transformada bien definida V(f), luego Teora de Telecomunicaciones I 95

96 Impulso en el tiempo (2) Luego As mismo se puede relacionar el impulso unitario con el escaln unitario mediante Por lo tanto Teora de Telecomunicaciones I 96

97 Impulso en el tiempo (3) De lo anterior y aplicando el teorema de diferenciacin tenemos Donde w(t) es una funcin no impulsiva; expresiones que permiten analizar el espectro de alta frecuencia de una seal para el diseo de sistemas, cuando alguna de las derivadas de la seal presenta discontinuidades. Teora de Telecomunicaciones I 97

98 Respuesta de sistemas LTI (Respuesta al impulso y superposicin integral)(1) Sea el sistema LTI Donde la salida y(t) es la respuesta del sistema a la entrada x(t) y representada por La propiedad de linealidad indica que el sistema obedece al principio de superposicin, luego si (ak son constantes) Teora de Telecomunicaciones I 98

99 Respuesta de sistemas LTI (Respuesta al impulso y superposicin integral)(2) La propiedad de invarianza en el tiempo del sistema indica que las caractersticas del sistema permanecen fijas con el tiempo, por lo tanto La mayora de los sistemas LTI son sistemas compuestos por elementos que se pueden caracterizar como conjuntos de resistencias, inductores y capacitores, el anlisis directo de este tipo de sistemas relaciona la entrada con la salida mediante una ecuacin diferencial lineal de la forma Teora de Telecomunicaciones I 99

100 Respuesta de sistemas LTI (Respuesta al impulso y superposicin integral)(3) Para obtener una relacin explcita entre la entrada y salida del sistema, se debe definir la respuesta al impulso de dicho sistema Y de acuerdo a que cualquier seal continua a la entrada del sistema puede ser expresada como entonces Teora de Telecomunicaciones I 100

101 Respuesta de sistemas LTI (Respuesta al impulso y superposicin integral)(4) Lo anterior, de acuerdo a la propiedad de linealidad del sistema, y dada la propiedad de invarianza en el tiempo tenemos Por lo tanto, la salida del sistema se expresa como la convolucin de la respuesta al impulso del sistema con la seal de entrada. Teora de Telecomunicaciones I 101

102 Respuesta de sistemas LTI (Respuesta al impulso y superposicin integral)(5) Existen formas de calcular h(t) a partir de ecuaciones diferenciales, pero es mas cmodo calcularla a partir de la respuesta al escaln, luego, sea Lo anterior cumple con la propiedad general de convolucin luego Teora de Telecomunicaciones I 102

103 Respuesta en tiempo de un sistema de primer orden En el circuito de la figura, la ecuacin diferencial que describe el comportamiento del sistema, su respuesta al escaln y al impulso son Ntese que las respuestas g(t) y h(t) son respuestas causales. Teora de Telecomunicaciones I 103

104 Funciones de transferencia y respuesta en frecuencia (1) La funcin de transferencia de un sistema se define como la transformada de fourier de la respuesta al impulso del sistema Esta definicin hace que sea necesario que H(f) exista, dado que si h(t) es creciente con el tiempo (sistema inestable) H(f) no existe. Cuando h(t) es real H(f) es hermitiana. La interpretacin en el dominio de la frecuencia proviene de la convolucin de la seal de entrada al sistema con la respuesta al impulso del mismo. Teora de Telecomunicaciones I 104

105 Funciones de transferencia y respuesta en frecuencia (2) Luego, sea donde la condicin que x(t) exista para todo tiempo t est asociada con las condiciones de estado estable del sistema, por lo tanto la respuesta de estado estable del sistema est dada por Teora de Telecomunicaciones I 105

106 Funciones de transferencia y respuesta en frecuencia (3) Llevando H(fo) a forma polar se tiene donde luego por lo tanto son las repuestas en magnitud y fase del sistema como funciones de la frecuencia. Teora de Telecomunicaciones I 106

107 Funciones de transferencia y respuesta en frecuencia (4) Por consiguiente, sea una seal x(t) con espectro X(f), se tiene que y aplicando transformada se tiene que y los correspondientes espectros de magnitud y fase son Si x(t) es una seal de energa, luego y(t) tambin ser una seal de energa con densidad espectral de energa y energa total igual a Teora de Telecomunicaciones I 107

108 Funciones de transferencia y respuesta en frecuencia (5) Finalmente, se puede determinar H(f) en un sistema sin conocer h(t), conociendo la ecuacin diferencial del sistema, expresando H(f) como la relacin de polinomios Igualmente se puede obtener la respuesta de estado estable de un fasor como cuando Teora de Telecomunicaciones I 108

109 Respuesta en frecuencia de un sistema de primer orden (1) Redibujando el circuito del ejemplo anterior, con impedancias y tenemos cuando donde Teora de Telecomunicaciones I 109

110 Respuesta en frecuencia de un sistema de primer orden (2) Graficando el espectro de la respuesta del sistema Para ilustrar mejor el comportamiento del sistema, sea x(t) una seal de entrada arbitraria con espectro contenido en Pueden ser estudiados 3 casos Teora de Telecomunicaciones I 110

111 Respuesta en frecuencia de un sistema de primer orden (3) Teora de Telecomunicaciones I 111

112 Anlisis de diagramas en bloques Teora de Telecomunicaciones I 112

113 Ejemplo: Retenedor de orden cero Sea El resultado anterior es aparentemente inusual, realizando el proceso en el dominio del tiempo tenemos cuando la entrada al integrador es Teora de Telecomunicaciones I 113

114 Distorsin de seal en transmisin (Transmisin sin distorsin) (1) Se dice que se presenta transmisin sin distorsin cuando la seal de salida del canal de transmisin difiere de la seal de entrada solamente en un multiplicacin por una constante y en un retardo finito, por lo tanto un sistema sin distorsin debe tener una respuesta constante en magnitud y un desplazamiento lineal negativo de fase, luego Teora de Telecomunicaciones I 114

115 Distorsin de seal en transmisin (Transmisin sin distorsin) (2) La grfica muestra la densidad espectral de energa de una seal promedio de voz De la grfica se puede concluir que un sistema que cumpla las condiciones anteriores en el rango de frecuencias desde 200Hz a 3200Hz puede considerarse sin distorsin Tpicamente se definen 3 tipos de distorsin Distorsin de amplitud Distorsin de retardo Distorsin no lineal cuando hay elementos no lineales. Teora de Telecomunicaciones I 115

116 Distorsin de seal en transmisin (Distorsin Lineal)(1) La distorsin lineal incluye cualquier distorsin de amplitud o retardo en un sistema de transmisin lineal. Seal de prueba Distorsin de amplitud Distorsin de fase =-90 Teora de Telecomunicaciones I 116

117 Distorsin de seal en transmisin (Distorsin Lineal)(2) La distorsin de amplitud ocurre cuando no es constante con la frecuencia, si el desplazamiento de fase no es lineal, cada componente de la seal sufre diferentes cantidades de retardo causando distorsin de fase o distorsin de retardo, dado que Que ser independiente de la frecuencia solamente si arg H(f) es lineal con la frecuencia. Veamos cual es el impacto de la distorsin de fase en una seal modulada. Teora de Telecomunicaciones I 117

118 Distorsin de seal en transmisin (Distorsin Lineal)(3) La funcin de transferencia de un canal arbitrario puede ser expresada como donde y si la entrada al canal es Luego por la propiedad de retardo de la transformada donde por lo tanto, la portadora ha sido retardada td y las seales moduladas retardadas tg Teora de Telecomunicaciones I 118

119 Distorsin de seal en transmisin (Distorsin Lineal)(4) td corresponde al desplazamiento de fase de la portadora y se denomina retardo de fase del canal o retardo de portadora, el retardo entre la envolvente de la seal de entrada y la seal de salida tg es denominado retardo de envolvente o retardo de grupo del canal. Para poder recuperar las seales originales, el retardo de grupo debe ser constante, luego donde Teora de Telecomunicaciones I 119

120 Ecualizacin (1) La distorsin lineal tericamente es reversible mediante redes de ecualizacin Para el cual la salida total sera sin distorsin si se cumple que de donde Difcilmente se consigue el diseo de un ecualizador que cumpla la condicin anterior, pero se obtiene una buena aproximacin. Teora de Telecomunicaciones I 120

121 Ecualizacin (2) Una de las tcnicas mas antiguas de ecualizacin para lneas telefnicas es la utilizacin de bobinas de pupinizacin, un mtodo mas reciente consiste en la utilizacin de ecualizadores de lneas de retardo o filtros transversales Generalizando Teora de Telecomunicaciones I 121

122 Ejemplo: Distorsin Multitrayectoria Supngase la salida de un canal de radio sea Donde el segundo trmino corresponde a un eco del primero si t1

123 Distorsin no lineal y compansin (1) En un sistema no lineal, su comportamiento no puede ser descrito por una funcin de transferencia, en lugar de ello los valores instantneos de entrada y salida son relacionados por una curva o funcin comnmente llamada caracterstica de transferencia. Bajo condiciones de entrada de pequea seal, es posible linealizar la funcin como se muestra en la figura, bajo expresiones de la forma. Teora de Telecomunicaciones I 123

124 Distorsin no lineal y compansin (2) A pesar de que no existe una funcin de transferencia, el espectro de la salida puede ser obtenido a partir del teorema de convolucin Si la seal x(t) es limitada en banda W, la respuesta de un sistema lineal no podra contener componentes mas all de la banda , pero en el caso de sistemas no lineales, la salida incluye componentes de la forma que se encuentran en bandas 2W,3W, etc., las cuales pueden ser eliminadas a partir de filtrado. Teora de Telecomunicaciones I 124

125 Distorsin no lineal y compansin (3) Sin embargo, an queda el problema de la eliminacin de componentes aditivas en la banda lo cual produce la distorsin no lineal en cuestin. Por ejemplo sea la seal la cual se introduce al sistema anterior, luego Teora de Telecomunicaciones I 125

126 Distorsin no lineal y compansin (4) La solucin a la situacin anterior es la introduccin de dos sistemas tales que Teora de Telecomunicaciones I 126

127 Perdidas de transmisin y decibeles (ganancia de potencia)(1) Adems de la distorsin un canal de comunicaciones tambin reduce el nivel de potencia de la seal, lo cual puede ser compensado por amplificacin. En un sistema LTI sin distorsin se tiene que Donde Pin es la potencia promedio de la seal de entrada Luego Los dB siempre representan razones de potencias y los dBW o los dBm representan potencia. Teora de Telecomunicaciones I 127

128 Perdidas de transmisin y decibeles (ganancia de potencia)(2) Considerando un sistema descrito por su funcin de transferencia H(f), si a la entrada del sistema se introduce una seal sinusoidal con amplitud Ax y produce una amplitud de salida y las potencias normalizadas son y no necesariamente iguales a Pin y Pout, sin embargo cuando hay adaptacin de impedancias es igual a , por lo tanto si luego en este caso la ganancia de potencia tambin aplica a las seales de energa en el sentido que , adems se tiene que la ganancia relativa de potencia se define como Teora de Telecomunicaciones I 128

129 Perdidas de transmisin y repetidores (1) Las prdidas de transmisin o atenuacin se definen como Donde En el caso de las lneas de transmisin, cable coaxial, fibra ptica y guas de onda, la potencia de salida decrementa exponencialmente con la distancia, luego Donde es la distancia del canal de transmisin y es el coeficiente de atenuacin en dB por unidad de longitud, luego Teora de Telecomunicaciones I 129

130 Perdidas de transmisin y repetidores (2) Teora de Telecomunicaciones I 130

131 Perdidas de transmisin y repetidores (3) La figura representa un sistema de transmisin por cable con un amplificador de salida y un amplificador operando como repetidor en la mitad del trayecto de transmisin, luego Teora de Telecomunicaciones I 131

132 Sistemas de radio (1) Se examinarn las perdidas de transmisin en un sistema de radio propagacin por lnea de vista. Las prdidas de espacio libre en un enlace por lnea de vista son debidas a la dispersin atmosfrica, y dadas por Teora de Telecomunicaciones I 132

133 Sistemas de radio (2) Expresando en kilmetros y f en gigahertz las antenas tienen un efecto focalizador que acta como amplificador en el sentido que la mxima ganancia de antena para una apertura de rea efectiva es Teora de Telecomunicaciones I 133

134 Ejemplo: Sistema de transmisin por satlite (1) La figura muestra un enlace satelital que utiliza un satlite geoestacionario operando en la banda C con frecuencia de subida de 6Ghz y de bajada de 4Ghz. Teora de Telecomunicaciones I 134

135 Ejemplo: Sistema de transmisin por satlite (2) Las prdidas en el enlace de subida estn dadas por y en el enlace de bajada el satlite tiene un amplificador repetidor que produce una salida tpica de 18dBW, si la potencia de entrada al transmisor es de 35dBW, la potencia recibida en el satlite es de Luego la potencia de salida de la antena del receptor es Teora de Telecomunicaciones I 135

136 Filtros y filtrado (Filtros ideales) (1) Un filtro ideal por definicin posee las caractersticas de un sistema sin distorsin para una o varias bandas de frecuencias y respuesta cero para todas las dems frecuencias. Los parmetros y son las frecuencias de corte inferior y superior respectivamente, y el ancho de banda del filtro esta dado por Teora de Telecomunicaciones I 136

137 Filtros y filtrado (Filtros ideales) (2) Sin embargo, todos los filtros ideales son irrealizables, debido a que sus caractersticas de transferencia no pueden ser obtenidas a partir de un conjunto finito de elementos. Por ejemplo, la funcin de transferencia y repuesta al impulso de un filtro pasabajos (LPF) se puede escribir como Teora de Telecomunicaciones I 137

138 Limitacin en banda y en tiempo Se dice que una seal v(t) es limitada en banda si existe una constante W tal que De manera similar v(t) es limitada en tiempo si para las constantes t1

139 Filtros reales (1) La figura muestra el espectro de magnitud de un filtro real pasa banda Los puntos en los cuales termina la banda pasante son definidos por Adems en los filtros reales, se pueden observar 3 regiones bien definidas, regin de banda pasante, transicin y banda detenida. Teora de Telecomunicaciones I 139

140 Filtros reales (2) El filtro estndar mas simple es el filtro pasabajas de Butterworth de orden n, el cual tiene n elementos reactivos y si K=1 se tiene Donde B es el ancho de banda de 3dB y Pn es un polinomio complejo; la familia de polinomios de Butterworth se definen por la propiedad Por consiguiente las primeras n derivadas de son cero para f=0 y se dice que es mximamente plana. Teora de Telecomunicaciones I 140

141 Filtros reales (3) Un filtro de Butterworth de primer orden tiene las mismas caractersticas de un filtro RC pasa bajos, con una pobre aproximacin a un LPF ideal. Pero la aproximacin mejora a medida que se incrementa n, la siguiente tabla muestra algunos de los polinomios de Butterworth para n=1 hasta 4 con Teora de Telecomunicaciones I 141

142 Filtros reales (4) Una idea clara de la relacin de amplitud en la regin de transicin se obtiene a partir del diagrama de bode, luego a medida que se incrementa n la respuesta en magnitud del filtro es mas aproximada a la ideal, pero la respuesta de fase en la banda pasante es menos lineal. Teora de Telecomunicaciones I 142

143 Filtros reales (5) Luego, en los casos en los cuales la linealidad de la fase es un factor fundamental, los filtros de Bessel Thomson son una mejor opcin, de acuerdo a que presentan una caracterstica de mximo desplazamiento de fase lineal, pero presentan una amplia regin de transicin. Por otro lado las clases de filtro de igual rizado (equiripple) tales como Chebysheb y elpticos proporcionan mejores cadas en la regin de transicin, pero presentan pequeos rizados en la regin pasante y significativo desplazamiento de fase no lineal. Teora de Telecomunicaciones I 143

144 Ejemplo: Filtro de Butterworth de segundo orden (1) El siguiente circuito es un filtro pasa bajos de Butterworth de segundo orden con Por lo tanto su funcin de transferencia es Teora de Telecomunicaciones I 144

145 Ejemplo: Filtro de Butterworth de segundo orden (2) Luego de acuerdo a los polinomios de Butterworth tenemos que se requiere Por lo tanto, la relacin entre R, L, C que satisface la ecuacin es Lo cual implica que Teora de Telecomunicaciones I 145

146 Respuesta al pulso y tiempo de rizado (1) Un pulso rectangular, o cualquier otra seal con transiciones abruptas contienen una cantidad significativa de componentes de alta frecuencia que pueden ser atenuadas o eliminadas por filtros pasabajos. El filtrado del pulso produce un efecto de aplanamiento que puede ser estudiado en el dominio del tiempo, este estudio se puede iniciar considerando a la entrada de un filtro un escaln unitario que representara el borde del pulso, luego la respuesta al impulso del filtro ser Teora de Telecomunicaciones I 146

147 Respuesta al pulso y tiempo de rizado (2) Luego la respuesta al impulso de un filtro de primer orden es Donde B es el ancho de banda del filtro, pero el filtro de primer orden no tiene restricciones severas con respecto a la limitacin en banda, por consiguiente un filtro ideal su respuesta al impulso es , luego Donde Teora de Telecomunicaciones I 147

148 Respuesta al pulso y tiempo de rizado (3) Donde la primer integral es igual a , pero la segunda requiere integracin numrica, luego Teora de Telecomunicaciones I 148

149 Respuesta al pulso y tiempo de rizado (4) El tiempo de rizado es una medida de la velocidad de la respuesta al impulso de un filtro, usualmente definido como el intervalo tr entre g(t)=0.1 y g(t)=0.9, el tiempo de rizado para un filtro de primer orden es de y para un filtro ideal es de por lo tanto se considera en general ahora si la seal de entrada al filtro es un pulso rectangular con duracin e inicio en t=0 y Teora de Telecomunicaciones I 149

150 Respuesta al pulso y tiempo de rizado (5) Luego Donde se observa que la respuesta tiene una forma aproximadamente rectangular cuando mientras es completamente distorsionado cuando Teora de Telecomunicaciones I 150

151 Respuesta al pulso y tiempo de rizado (6) Por lo tanto para transmitir pulsos rectangulares se requiere un ancho de banda grande para reproducir su forma Pero para detectar el envo de un pulso o medir su amplitud es suficiente con Adems la deteccin y resolucin de pulsos estn generalmente relacionadas con la medida relativa a un tiempo de referencia de posicin de pulsos. Teora de Telecomunicaciones I 151

152 Filtros de cuadratura y transformada de Hilbert (1) La transformada de fourier es muy til cuando deseamos descomponer seales de acuerdo a su contenido de frecuencia, sin embargo a veces es conveniente descomponer las seales en funcin de su fase, para estas aplicaciones se utiliza la transformada de Hilbert, la cual se introduce en conjuncin con los filtros en cuadratura, el cual es una red pasa todo que simplemente desplaza la fase de las componentes positivas de frecuencia en -90 y las componentes negativas de frecuencia un ngulo de +90, luego un desplazamiento de fase de es equivalente a multiplicar a la funcin de transferencia por Teora de Telecomunicaciones I 152

153 Filtros de cuadratura y transformada de Hilbert (2) Luego la funcin de transferencia del filtro puede ser escrita en trminos de la funcin signo como y su correspondiente repuesta al impulso obtenida por dualidad dado que luego Teora de Telecomunicaciones I 153

154 Filtros de cuadratura y transformada de Hilbert (3) Si se introduce al filtro una seal arbitraria x(t), luego la salida del filtro puede ser definida como la transformada de Hilbert de x(t) denotada como Ntese que la transformada de Hilbert es una convolucin y por lo tanto transforma una funcin en el dominio tiempo a otra tambin en el dominio tiempo, no est efectuando un cambio de dominio, por lo tanto el espectro de como Teora de Telecomunicaciones I 154

155 Filtros de cuadratura y transformada de Hilbert (4) Se puede observar de la ecuacin de que es un sistema no causal, y por lo tanto fsicamente no realizable, aunque su comportamiento puede ser aproximado en una banda finita de frecuencias. Presumiendo que la seal de entrada al filtro x(t) es real 1. El espectro de magnitud de una seal y el de su transformada de Hilbert es igual, luego la energa o potencia de la seal y de su transformada tambin es igual. 2. Si es la transformada de Hilbert de la seal luego es la transformada de Hilbert de 3. Una seal y su transformada de Hilbert son ortogonales Teora de Telecomunicaciones I 155

156 Ejemplo: Transformada de Hilbert de una seal coseno Sea luego Por lo tanto Este par de transformadas son muy utilizadas para encontrar la transformada de Hilbert de cualquier seal que consiste de la suma de sinusoides. Teora de Telecomunicaciones I 156

157 Ejemplo: Transformada de Hilbert de un pulso rectangular (1) Sea su transformada de Hilbert Grficamente tenemos Teora de Telecomunicaciones I 157

158 Ejemplo: Transformada de Hilbert de un pulso rectangular (2) Como se aprecia en la grfica para el caso en el cual las reas se cancelan entre y y luego Por ultimo no existe cancelacin de rea para Combinando en una expresin Teora de Telecomunicaciones I 158

159 Correlacin y densidad espectral La correlacin se enfoca en el estudio de promedios temporales y seales de energa o potencia, tomando la transformada de Fourier de una funcin de correlacin se obtiene una representacin en el dominio de la frecuencia en trminos de funciones de densidad espectral, teniendo como ventaja que las seales por si mismas no necesariamente deben ser Fourier transformables, por ello, la densidad espectral permite modelar un amplio rango de seales incluyendo las seales aleatorias. Teora de Telecomunicaciones I 159

160 Correlacin y densidad espectral (correlacin de seales de potencia)(1) Sea v(t) una seal de potencia no necesariamente real o peridica, solamente se establece que debe tener bien definida su potencia promedio El promedio temporal de una seal debe interpretarse Con las siguientes propiedades Teora de Telecomunicaciones I 160

161 Correlacin y densidad espectral (correlacin de seales de potencia)(2) Si v(t) y w(t) son seales de potencia, el promedio se denomina producto escalar de v(t) y w(t), el producto escalar es un nmero, posiblemente complejo que sirve como una medida de similaridad entre dos seales; la desigualdad de Schwarz relaciona el producto escalar con las potencias de las seales Ahora, sea Teora de Telecomunicaciones I 161

162 Correlacin y densidad espectral (correlacin de seales de potencia)(3) la potencia promedio de z(t) ser Si a=1 y Donde se observa que un gran valor del producto escalar implica seales similares, de igual manera un pequeo producto escalar implica seales disimilares y Teora de Telecomunicaciones I 162

163 Correlacin y densidad espectral (correlacin de seales de potencia)(4) Definiendo la correlacin cruzada (crosscorrelation) de dos seales de potencia como La cual es el producto escalar con la segunda seal retardada con relacin a la primera, donde el desplazamiento es la variable independiente, donde la variable t ha sido omitida del promedio temporal; las propiedades generales de son Luego la correlacin cruzada mide la similaridad entre y como una funcin de Teora de Telecomunicaciones I 163

164 Correlacin y densidad espectral (correlacin de seales de potencia)(5) Por lo tanto la correlacin cruzada es una medida mas sofisticada de la similaridad de dos seales que el producto escalar dado que detecta similaridades de las seales desplazadas en el tiempo que el producto escalar puede obviar. Si se correlaciona una seal con si misma, se genera la funcin de autocorrelacin, la cual nos da una idea de la variacin en el tiempo de la seal en un sentido promedio. Si es grande, se puede inferir que es muy similar a para un valor de particular. Teora de Telecomunicaciones I 164

165 Correlacin y densidad espectral (correlacin de seales de potencia)(6) Algunas propiedades de la funcin de autocorrelacin luego posee simetra hermitiana y mximo valor en el origen igual que la seal de potencia. Si es real, luego ser real y par. Si es peridica tendr la misma periodicidad. Considerando la seal , obteniendo su autocorrelacin se encuentra que y si y son no correlacionadas para todo luego y haciendo Teora de Telecomunicaciones I 165

166 Ejemplo: Correlacin de fasores y sinusoides (1) El producto escalar de dos fasores o seales sinusoidales se describe como Resultado que se aplicar mas adelante, luego sean Donde y son constantes complejas que afectan la magnitud del fasor y su fase. Teora de Telecomunicaciones I 166

167 Ejemplo: Correlacin de fasores y sinusoides (2) Luego la correlacin cruzada es Luego, los fasores son no correlacionados a menos que tengan frecuencias idnticas. Por lo tanto la funcin de autocorrelacin es Por lo tanto, para una seal sinusoidal Teora de Telecomunicaciones I 167

168 Correlacin de seales de energa (1) Productos de promedios de seales de energa durante todo el tiempo producen valor cero, pero se puede hablar de energa total de una seal, la cual se define como De manera similar la correlacin de seales de energa se puede definir como Teora de Telecomunicaciones I 168

169 Correlacin de seales de energa (2) Luego, las propiedades matemticas de la operacin son las mismas que la operacin de promedio temporal , luego todas las relaciones previas se cumplen reemplazando por por ejemplo, la propiedad Examinando de manera mas detallada la definicin de correlacin para seales de energa, se puede observar que es un tipo de convolucin, entonces, para y la correlacin Teora de Telecomunicaciones I 169

170 Correlacin de seales de energa (3) Por lo tanto Otras relaciones obtenidas a partir de la transformada de Fourier combinando con Teora de Telecomunicaciones I 170

171 Correlacin y sistemas LTI (1) Una seal x(t) tiene una autocorrelacin conocida la cual es aplicada a un sistema LTI con respuesta al impulso h(t) produciendo la seal de salida luego la funcin de correlacin cruzada entre la entrada y salida del sistema es y la funcin de autocorrelacin de la salida es Teora de Telecomunicaciones I 171

172 Correlacin y sistemas LTI (2) luego asumiendo que x(t) y y(t) son seales de potencia (igual aplica para seales de energa) tenemos que introduciendo la superposicin integral para e intercambiando el orden de las operaciones pero si para cualquier Teora de Telecomunicaciones I 172

173 Correlacin y sistemas LTI (3) luego de la misma manera en la cual haciendo el cambio de variable Teora de Telecomunicaciones I 173

174 Funciones de densidad espectral (1) Dada una seal de potencia o energa v(t) su funcin de densidad espectral representa la distribucin de potencia o energa en el dominio de la frecuencia y tiene dos propiedades esenciales, la primera indica que el rea bajo es igual a la potencia promedio o energa total de la seal la segunda indica que si x(t) es la entrada a un sistema LTI con , luego las funciones de densidad espectral de entrada y salida estn relacionadas por Teora de Telecomunicaciones I 174

175 Funciones de densidad espectral (2) donde es la ganancia de potencia o energa a cualquier frecuencia f , luego ecuacin que expresa la salida de potencia o energa en trminos de la densidad espectral de la seal de entrada Para arbitraria y actuando como un filtro de banda angosta de ganancia unidad se tiene Teora de Telecomunicaciones I 175

176 Funciones de densidad espectral (3) grficamente si es lo suficientemente pequeo el rea bajo ser y de lo cual se concluye que a cualquier frecuencia es igual a la potencia o energa de la seal por unidad de frecuencia. Teora de Telecomunicaciones I 176

177 Funciones de densidad espectral (4) De lo anterior se puede concluir que cualquier funcin de densidad espectral debe ser real y no negativa para cualquier valor de f. Para calcular la funcin de densidad espectral de una seal v(t), el teorema de Wiener Kinchine establece luego se define el par transformado Teora de Telecomunicaciones I 177

178 Funciones de densidad espectral (5) Si v(t) es una seal de energa con luego y se obtiene la densidad espectral de energa. Si v(t) es una seal peridica de potencia con expansin en series de Fourier luego la densidad espectral de potencia o potencia espectral est dada por Teora de Telecomunicaciones I 178

179 Ejemplo: Densidad espectral de energa de seales en sistemas LTI (1) Sea la entrada a un sistema con funcin de transferencia calculando la densidad espectral de energa de x(t) y calculando la correspondiente densidad espectral de y(t) Teora de Telecomunicaciones I 179

180 Ejemplo: Densidad espectral de energa de seales en sistemas LTI (2) se sabe que tambin se pudo haber calculado de donde de manera similar para y(t) Teora de Telecomunicaciones I 180

181 Ejemplo: Densidad espectral de energa de seales en sistemas LTI (3) se tiene y de manera correspondiente calculando Teora de Telecomunicaciones I 181

182 Ejemplo: Filtro de peine (1) Considere el filtro de peine con respuesta al impulso Conociendo la densidad espectral de la seal de entrada, la densidad espectral de la seal de salida y la autocorrelacin se obtienen como Teora de Telecomunicaciones I 182

183 Ejemplo: Filtro de peine (2) conociendo la autocorrelacin de la seal de entrada y convirtiendo a notacin exponencial luego y la salida de potencia o energa es Teora de Telecomunicaciones I 183

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